用定义证明函数的单调性?

利用单调性定义证明函数单调性的步骤如下：

任取两点：

在函数的定义域内任取两个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$。

作差：

计算函数在这两点处的函数值差，即 $f（x_1） - f（x_2）$。

变形：

对差值进行变形，使其形式更易于判断符号。这可能包括配方、因式分解、通分等步骤。

定号：

判断变形后的差值的符号。如果差值大于0，则函数在该区间内单调递增；如果差值小于0，则函数在该区间内单调递减。

下结论：

根据差值的符号，得出函数在整个区间上的单调性。

示例

证明函数 $f（x） = -2x + 2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是单调减函数

任取两点：

设 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ 且 $x_1 < x_2$。

作差：

计算 $f（x_1） - f（x_2）$：

$$

f（x_1） - f（x_2） = （-2x_1 + 2） - （-2x_2 + 2） = -2x_1 + 2 + 2x_2 - 2 = -2（x_1 - x_2）

$$

变形：

差值已经是最简形式 $-2（x_1 - x_2）$。

定号：

因为 $x_1 < x_2$，所以 $x_1 - x_2 < 0$，从而 $-2（x_1 - x_2） > 0$。

下结论：

因此，对于任意 $x_1 < x_2$，有 $f（x_1） > f（x_2）$，所以 $f（x） = -2x + 2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是单调减函数。

总结

通过上述步骤，我们可以利用单调性定义来证明任意函数的单调性。关键在于正确选择两点、作差、变形和定号，从而得出正确的结论。